Lösung:

Zunächst einmal zu den Begriffen (die auch ab und an in den Medien auftauchen): der in der Aufgabe beschriebene Test besitzt eine Sensitivität von 98% – d. h. in 98% der Fälle erkennt er einen Infizierten als infiziert (das nennt man „richtig positiv“) aber in 2% der Fälle gibt er bei einem Infizierten fälschlicherweise ein negatives Testergebnis aus und ‚erkennt‘ diesen als gesund („falsch negativ“).

Die Spezifität dieses Tests liegt bei 99% – es werden in 99% aller Fälle ein Gesunder als gesund erkannt („richtig negativ“) aber zu 1% wird ein Gesunder als infiziert ausgewiesen („falsch positiv“). Bis dato wurden lt. RKI schon über 11 Millionen Tests durchgeführt, so dass eine Beispielrechnung mit 10 Millionen Tests gewiss realistisch ist. (Es ginge auch ganz ohne konkrete Testanzahl, also nur mit Anteilen, aber dann wird d. Rechnung unanschaulicher.)

Von 10 Millionen Getesteten sind 0,1% infiziert, d. h. wir haben 10.000 Infizierte und 9.990.000 Gesunde. 

Von den Infizierten werden 98% positiv getestet (also 9.800 „richtig positive“) und 2% negativ (200 „falsch negativ“).

Von den Gesunden werden 99% negativ getestet (9.890.100 „richtig negativ“) und 1% positiv (99.900 „falsch positiv“).

Insgesamt haben wir somit 9.800 + 99.900 = 109.700 „Positive“ (das ist übrigens die Zahl, die man in den Medien als „Neuinfektionen“ zu lesen und zu hören bekommt). Von diesen ganzen „Positiven“ sind aber nur 9.800 „richtig positiv“. Ihr Anteil an allen „Positiven“ beträgt 9.800/109.700 = 9%. So „groß“ ist also die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv Getesteter tatsächlich infiziert ist, d. h. beim hier berechneten Test sind 91% der „Positiven“ gar nicht infiziert.

Das sind die „viel mehr Falsch-Positiven als tatsächlich Positive wenn man bei sinkendem Infektionsgeschehen zu viel testet“, von denen Jens Spahn spricht.

Übrigens: die Verwunderung darüber, dass man dieses Verhältnis (hier: 9 mal mehr falsch-Positive als „Richtige“) intuitiv normalerweise viel kleiner einschätzt, legt sich legt sich meistens dann, wenn man sich klar macht, dass 1 – 2 % von 10.000 Infizierten in absoluten Zahlen eben viel weniger Personen sind als die 1 – 2 % von 9.990.000 Gesunden und deshalb viel weniger ‚ins Gewicht fallen‘. Vielleicht haben’s manche schon nachgerechnet: die Wahrscheinlichkeit, dass beim vorhin beschriebenen Test ein „falsch-negativer“ Befund herauskommt, also dass ein als „gesund“ Heimgeschickter doch infiziert ist, liegt bei 200/9.890.300 = 0,002%.